اختبار دلالة خط الانحدار بواسطة أسلوب “تحليل التباين”

2012 استخدام الإحصاء لفهم البيئة

فيليب ويذر وبني أ.كوك

KFAS

تحليل التباين اختبار دلالة خط الانحدار الرياضيات والهندسة الهندسة

إننا نحتاج الآن لمعرفة ما إذا كان الخط المحسوب له دلالة جوهرية- وبعبارة أخرى ما إذا كانت هناك علاقة ذات دلالة بين ضوضاء المرور والمسافة من الطريق.

ويمكننا أن نقوم بذلك باستخدام الأسلوب الذي يعرف باسم تحليل التباين (ويتم اختصاره بالأحرف ANOVA)، وهذا الأسلوب هو الأكثر شيوعاً في الاستخدام على الرغم من أن الاختبار t للعينة الواحدة يمكن أيضاً استخدامه لتحديد ما إذا كان الميل أكبر من الصفر بصورة جوهرية- انظر النصوص مثل زار (1999) أو سوكال ورولف (1995) للمزيد من التفاصيل.

وعند حساب دلالة الانحدار فإننا نعمل على أساس التغير الإجمالي في y ونجد ما هي نسبة التغير الإجمالي هذه التي يمكن تفسيرها بالتغير في x. والتغير الإجمالي في y يسمى أيضاً إجمالي مجموعة المربعات (SS_total)، ويتم حسابه بطرح المتوسط y من كل قيمة y.

وتربيع الإجابة ثم تتم إضافة هذه الانحرافات المربعة معاً. والانحرافات من القيمة المتوسطة y مبينة بالتصوير في الشكل 11-5 وإعادة تنظيم الصيغة الحسابية مبينة بعد الشكل (يمكن التعرف عليها على اعتبار أنها المرحلة الأولى في حساب الانحراف المعياري في الفصل 2: انظر المربع 3-2):

 

هذا التغير في y (إجمالي مجموع مربعات y) يمكن تقسيمه إلى جزئين والتغير المفسر بخط الانحدار (SS_regression) والتغير غير المفسر (التغير المتبقي أو SS_residual). وبعبارة أخرى

وهذه المكونات المختلفة للتغير مصورة في نقطة بيانات فردية في الشكل 12-5.

يستخدم تحليل التباين ANOVA نسبة التغير المفسر للتغير غير المفسر، وإذا كانت لدينا ملاءمة مثالية لبياناتها على خط الانحدار فإن التغير المتبقي سيكون صفر ومجموع إجمالي المربعات y سيعادل مجموعة مربعات الانحدار.

 

أي أن خط الانحدار سيصف جميع التغير في y. وفي المقابل إذا لم تكن هناك ملاءمة فإن إجمالي مربعات الانحدار سيكون صفر (أي أن خط الانحدار سيكون أفقياً) ومجموعة إجمالي مربعات y سيعادل إجمالي المربعات المتبقية. والصيغ الحسابية لحساب إجماليات المربعات مبينة في المربع 5 – 6.

وهذه الإجماليات للمربعات يتم بعد ذلك إدخالها لجدول تحليل التباين ANOVA مثل الجدول 5 – 4.

 

وهنا نجد أن إجماليات المربعات (الإجمالي والانحدار والمتبقي) مذكورة مع درجات الحرية المقابلة لها (قواعد حسابها مبينة أيضاً في الجدول (5 – 4).

وإجماليات المربعات يتم توحيدها بقسمة درجات الحرية الخاصة بها لإنتاج مقاييس للتباين تسمى متوسط المربعات.

وإحصاء الاختبار (F) هو ببساطة نسبة التغيرات المفسرة للتغيرات غير المفسرة، وهي في هذه الحالة النسبة بين مربع متوسط الانحدار ومربع متوسط المتبقي.

وهذه القيمة يتم النظر إليها بعد ذلك في الجدول F ويوجد اقتباس منه مبين في الجدول 5 – 5) وباستخدام قيمتين لدرجات الحرية وهي قيمة الانحدار وقيمة الباقي.

 

 

الجدول 5 – 5 القيم المختارة F لتحليل التباين ANOVA. ويتم رفض الافتراض الصفري إذا كانت القيم المحسوبة F أكبر من القيم في الجدول.

والقيم العليا بالخط السميك على أساس الاحتمال P = 0.05 بينما الأرقام المنخفضة على أساس الاحتمالات P = 0.01 والخطوط المظللة تبين القيم الحرجة للمثال المشار إليه في النص. ويوجد جدول أكثر شمولاً لقيم F مبين في الجدول د 7 (الملحق د).

 

وفي المثال العملي 5 – 3 ب فإن المؤشر الإحصائي الاختباري (F) يتم حسابه ليكون 77.11 ثم ننظر بعد ذلك لقيمة F في جدول القيم الحرجة (انظر المساحة المظللة في الجدول 5 – 5).

والقيم الحرجة F لها قيمتان لدرجات الحرية. وفي هذه الحالة فإننا ننظر F عند درجات الحرية df = 1 و 5 (وتكتب في بعض الأحيان هكذا F_{1, 5}).

 

والرقم الأول لدرجات الحرية (1) يأتي من إجمالي مربعات الانحدار. وبالنسبة للانحدار الخطي البسيط فإن درجات الحرية لإجمالي مربعات الانحدار بالقيمة 1 دائماً.

والرقم الثاني لدرجات الحرية (5) يأتي من إجمالي مربعات الباقي (n – 2) وبالنظر إلى الجزء المظلل في الجدول 5 – 5 نجد القيمة الحرجة F_{1, 5} بالقيمة 6.6 (عند الاحتمال P = 0.05) وحيث أن قيمتنا المحسوبة F = 77.11 أكبر كثيراً من هذه أو من قيمة الاحتمالات P = 0.01 (16.3)، يمكننا رفض الافتراض الصفري والاستنتاج بأن هناك قيمة عالية الدلالة للتغير في y يتم وضعها في الاعتبار وتفسيرها بالتغير في x.

عندما تقتبس من هذه النتانج ووضعها في تقرير عليم أيضاً اقتباس معامل تحديد المقدار r² (أو R² عند التحويل إلى نسبة مئوية) وهى نسبة التغير الإجمالي في y المفسرة بالتغير في x (انظر المربع 5 – 7).

 

وفي مثالنا (انظر المثال العملي 5 – 3 ج) نجد أن معادلة الانحدار تفسر نسبة كبيرة من التغير في y (R² = 93.9%) وهكذا فإن معادلة الانحدار الخاصة بنا ستمثل نموذجاً جيداً لتوقع مستوى الصموت مع المسافة من الطريق. ويمكننا إذاً تسجيل نتيجتنا كما يلي:

هناك انخفاض له دلالة في مستوى الصوت مع المسافة من الطريق (y = 94.29 – 0.146x, F_1,5 = 77.11, P < 0.01) ونموذج الانحدار يفسر نسبة مئوية كبيرة من التغير في مستوى الصوت (R² = 93.9%).

 

ومعظم برامج الكمبيوتر تستخدم تحليل التباين لاختبار دلالة خط الانحدار. وبعضها أيضاً تعرض النتائج في اختبار t. وفي حالة تقديم المجموعتين من النتائج فإنك تحتاج فقط لتسجيل نتائج تحليل التباين ANOVA.

وإذا كنت تستخدم برنامج يقوم فقط بحساب الاختبار t عليك أن تسجل القيمة t وعدد درجات الحرية (2 – n) والاحتمالات (P) وبالإضافة إلى معادلة الانحدار (المقطع والميل) وR² فإن تفسير الاختبار t مماثل لاستخدام تحليل التباين ANOVA من حيث أنه إذا كانت الاحتمالات أقل من 0.05 فهناك انحدار له دلالة في y على x.

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]