تحليل التباين البراميتري ثنائي الاتجاهات

2012 استخدام الإحصاء لفهم البيئة

فيليب ويذر وبني أ.كوك

KFAS

تحليل التباين البراميتري ثنائي الاتجاهات الرياضيات والهندسة الهندسة

لقد قمنا حتى الآن بدارسة الفروق بين التصنيفات لمتغير واحد مستقل.

ولكن مع تحليل التباين فمن الممكن فحص الفروق في نفس الوقت الناتجة عن أكثر من متغير مستقل واحد، وبالنسبة للمتغيرين المستقلين فإننا نستخدم تحليل التباين ثنائي الاتجاهات، وهذا يسمح لنا أيضاً بالاختبار بخصوص وجود تأثيرات متبادلة بين المتغيرات: ويحدث التأثير المتبادل عندما تكون هناك مجموعة من المتغيرات تحدث تأثيراً أكبر (أو أقل) مما هو متوقع بفحص كل متغير وحده.

وتصميم التجربة ثنائية الاتجاهات أو المسح الثنائي الاتجاهات يمكن تصوره كما في الشكل 7 – 4 حيث يكون المتغيران المستقلان الصفوف r والأعمدة C في التصميم الثنائي الاتجاهات وكل خلية تعتبر واحدة من العينات r × c، وكل واحدة تمثل مجموعة خاصة من التصنيفات للمتغير المستقل.

 

وهنا نجد أن المتغير المستقل من بين المتغيرين الذي يتم تخصيصه كصف والمتغير الذي يتم تخصيصه كعمود يتم بصورة اختيارية. فإذا كانت هناك نقطة بيانات واحدة في كل خلية، فإننا سنحتاج لنوع مختلف من التحليل (تم مناقشته في نهاية هذا الجزء).

وفي هذا الكتاب سندرس فقط الحالات لتحليل التباين الثنائي الاتجاهات حيث تكون أحجام العينات متساوية.

فإذا كانت أحجام العينات غير متساوية فإن اختبار الحساب والدلالة لتحليل التباين ANOVA تصبح أكثر تعقيداً – انظر النصوص مثل زار (1999) وسوكال ورولف (1995).

 

لاحظ أن الشكل 7 – 4 يعتبر طريقة مناسبة لتصوير التصميمات ثنائية الاتجاهات. ولكن إذا استخدمت برنامج ٍكمبيوتر لحساب اختبارات ANOVA الخاصة بك فإن هذا النموذج لن يكون مناسباً.

انظر الجدول ب – 6 (الملحق ب) بخصوص تفاصيل مدخلات البيانات للتحليل الإحصائي باستخدام الكمبيوتر، وأيضاً لاحظ أن التصميم في الشكل 7 – 4 لا يمثل تصميماً مكانياً لمعاجات التجربة (على سبيل المثال في تجربة حقلية – انظر الفصل 1 بخصوص التصميمات المناسبة).

وكمثال للتصميم ثنائي الاتجاهات تصور دراسة لاستعادة أراضي مهجورة، حيث تم قياس صلاحية الطبقات السفلية المختلفة لغرض البدء في زراعة مجتمعات من الزهور البرية وذلك من خلال عد الأنواع التي يتم زراعتها بعد أن يتم نثر خليط من تقاوي الزهور البرية. وتم أيضاً اختبار تأثير تسميد الطبقات السفلية المختلفة بقسمة كل طبقة سفلية إلى الطبقات حيث تم استخدام الأسمدة في محلول مائي وتلك التي تم ريها بكمية مساوية من الماء لغرض المقارنة.

 

ولذلك فإن نوع الطبقة السفلية (وهي من كسر الطوب أو نفايات مناجم الفحم أو التربة السفلية) وهي تعتبر متغير مستقل واستخدام الأسمدة (سواء الأسمدة أو التحكم للمقارنة) كمتغير مستقل ثاني.

وهذا التوزيع يمكن تمثيله في شكل r × c = 2 × 3 = 6 عينات، وهي لذلك في شكل تطبيقين مضروبة في ثلاث أنواع من الطبقات السفلية.

أولاً بالنسبة لتحليل التباين الأحادي الاتجاه فإننا نفحص بخصوص تساوي التباينات من خلال حساب F_max للتبابن الأكبر والأصغر للعينات. ومن بعدها إذا بين اختبار F_max أنه لا يوجد فرق له دلالة إحصائية بين التباين الأكبر والتباين الأصغر.

 

فإننا نقوم بحساب القيم F للحصول على احتمالات عدم وجود تأثير على: متغير العمود (على سبيل المثال الطبقة السفلية) ومتغير الصف (على المثال التطبيق) والتفاعل المتبادل بين الاثنين (على سبيل المثال بين التطبيق والطبقة السفلية). والحسابات مماثلة لتلك المستخدمة في تحليل التباين أحادي الاتجاه.

والتغير الإجمالي يتم تقسيمه مرة أخرى بين التصنيفات (أي التغير المفسر بالتجربة أو المسح) والتغير داخل العينات (التغير غير المفسر). ولذلك:

ولكن بالنسبة لتحليل التباين ANOVA الثنائي الاتجاهات فإن التغير المفسر (SS_between) يتضمن التغير الناتج عن متغيرين مستقلين (SS_{row variable} و SS_{column variable}) وكنتيجة لمكون التأثير المتبادل (SS_interaction) وهذا يعني:

ويمكننا أن نرى من المعادلة السابقة أنه بمقدار ما يزداد التغير المفسر بالمتغيرين المستقلين بمقدار ما يقل التفاعل والتأثير المتبادل التغير الإجمالي يمكن تقسيمه إلى:

 

وتفاصيل كيفية حساب كل من مجموعات المربعات مبين في المربع 7 – 7 في شكل تحليل التباين أحادي الاتجاه ANOVA.

وإجمالي المربعات ودرجات الحرية يتم إدخاله في جدول تحليل التداين ANOVA، والحسابات مبينة في الجدول 7 – 9.

 

بالنسبة للقيم MS_{column variable}، MS_{row variable} و MS_interaction فجميعها يتم الحصول عليها بقسمة قيم SS المكافئة على درِجات الحرية المقابلة لها.

وقيم F للتطبيق والطبقات السفلية والتأثير المتبادل يتم الحصول عليها بقسمة ما يقابلها في متوسط المربعات MS على MS­_within. ويتم الحصول على الاحتمالات من جدول القيم F (الجدول د – 7، الملحق د).

وحسابات البيانات وتحليل التباين ANOVA لعدد أصناف النباتات الموجودة على الطبقات السفلية المختلفة وبالتطبيقات المختلفة مبينة في المثال العملي 7 – 5 أ.

 

تم عرض قيم F الثلاثة التي تم الحصول عليها من مثالنا في الجدول في المثال الناجح 7 – 5 أ. وكل من الثلاثة يتم مقارنته مع القيم في الجدول F عند درجات الحرية المناسبة (انظر الجدول د – 7، الملحق د). على سبيل المثال فإن القيمة المحسوبة F للتطبيق 4.777.

وهذه القيمة أعلى من القيمة في الجدول عند درجات الحرية 1df و 24 للاحتمالات P = 0.05 (4.26) ولكنها تكون أقل من ذلك عند الاحتمالات P = 0.01 (7.82)، ولذلك فإن استخدام السماد له تأثير جوهري له دلالة إحصائية (P < 0.05).

والنتائج من المثال العملي 7 – 5 أ تبين أن كل من الطبقات السفلية والتطبيقات لها تأثير جوهري (والحالة الأولي لها دلالة أعلى) ولكن بدون تأثير متبادل له دلالة. وحقيقة أنه لا يوجد تأثير متبادل تبين أن كل من نوع طبقات التربة وإضافة الأسمدة لها تأثيرات مستقلة على عدد الأنواع النباتية.

ونتائج تحليل التباين ثنائي الاتجاهات ANOVA يمكن تمثيلها بصورة مناسبة كخط للتفاعل والتأثير المتبادل (الشكل 7 – 5).

 

ويبين الرسم كل من التأثيرين الجوهريين مع الدلالة الإحصائية, وأحد التأثيرين هو الفرق بين أنواع الطبقات السفلية مع التربة السفلية (الخط العلوي) والتي تدعم أكبر عدد من الأنواع النباتية يليها طبقة كسر الطوب ثم طبقات نفايات المناجم. وهذا الترتيب لأنواع الطبقات السفلية متماثل سواء تم أو لم يتم إضافة الأسمدة.

والأسمدة لها تأثير مماثل على كل نوع من الطبقات السفلية (كما يمكننا أن نرى من حقيقة أن الخطوط متوازية تقريباً). وهكذا فإن تأثير الأسمدة لا يعتمد على نوع الطبقة السفلية ولكنه متفق لكل نوع من الطبقات السفلية.

وعندما يكون هناك تفاعل وتأثير متبادل له دلالة فإن الخطوط على رسم الخطوط المزدوج الاتجاهات ليس متوازياً. وأخيراً فإننا نشرح كيفية تفسير التأثير المتبادل الذي له دلالة.

لاحظ أن الخط الذي يتم رسمه على هذا الرسم يبين عادة وجود مقياس متصل على كل من المحاور x و y وأن هذا الخط يمكن استخدامه للحصول على القيمة y بالنسبة لأي قيمة x.

 

ومن الواضح في هذه الحالة أنه لا توجد نقاط متوسطة على المحور x وتستخدم الخطوط فقط لتصوير التأثير المتبادل المحتمل.

نتائج تحليل التباين تخبرنا بأنه يوجد تأثير له دلالة للتطبيق. وبالتفتيش على العدد المتوسط للأنواع النباتية (ويتم حسابها من إجمالي الأسمدة في المثال العملي 7 – 5 أ بالقيمة X = 180/15 = 12) وهذا يخبرنا بأن التأثير الجوهري له دلالة ناتج عن وجود المزيد من الأنواع النباتية في المعالجة بالأسمدة بالمقارنة مع عينة التحكم والمقارنة.

وحيث أنه توجد معالجتان فقط فإن هذه النتيجة ليس بها غموض. ولكن بالنسبة لنوع الطبقة السفلية لا يمكننا أن نقول بالتحديد أن التربة السفلية < كسر الطوب < نفايات المناجم ويمكننا أن نقول فقط أنه يوجد فرق بين المتوسطات، والمقارنات المتعددة بين المتوسطات لأنواع الطبقات السفلية الثلاثة ضرورية لاكتشاف أين توجد الفروق.

والمقارنات المتعددة يتم أداؤها باستخدام اختبار تاكي بنفس الأسلوب كما هو مبين في تحليل التباين ANOVA الأحادي الاتجاه (المربع 7 – 2).

 

وهنا حيث إننا نقارن متوسطات الطبقات السفلية الثلاثة المختلة، n بالقيمة 10 لكل مجموعة وعدد المقارنات (k) بالقيمة 3.

والحسابات مبينة في المثال العملي 7 – 5 ب وحيث أن جميع المقارنات ذات دلاله فإننا نستنتج أن: التربة السفلية < كسر الطوب < نفايات المناجم (عند P = 0.05). ويمكننا تسجيل ذلك كما يلي:

يوجد تأثير له دلالة على عدد الأنواع بحسب نوع الطبقة السفلية (F_2.24 = 26.64, P < 0.01) والأسمدة (F_1.24 = 4.78, P < 0.05) ولكن لا يوجد تأثير متبادل (F_2.24 = 0.46, P > 0.05).

ولقد كشفت مقارنات تاكي المتعددة أن جميع أنواع الطبقات السفلية الثلاثة تختلف عن أحدها الآخر والتربة السفلية تدعم معظم الأنواع وتربة نفايات المناجم تدعم القيمة الأقل (P < 0.05).  وأدت إضافة الأسمدة إلى زيادة عدد الأنواع لجميع الطبقات السفلية الثلاثة.

 

والقواعد للمقارنات المتعددة مختلفة إذا كان هناك تفاعل له دلالة (انظر المثال في الجزء الفرعي التالي).

وبصفة عامة عندما يوجد تأثير متبادل له دلالة فإننا نقوم بالمقارنات المتعددة لكل متغير له دلالة وبأكثر من متوسطين للمقارنة مع تجاهل المتغير الآخر.

وهكذا فإذا كنا بحاجة لأداء اختبارات مقارنة متعددة على بيانات الأسمدة (أي أننا إذا كان لدينا أكثر من من معالجتين وكان هناك فرق له دلالة باستخلام تحليل التباين)، فإننا نقوم بتكرار العملية في المثال العملي 7 – 5 ب لتطبيق الأسمدة مع تجاهل نوع الطبقة السفلية.

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]