طرق القياس الرياضيّة المعتمدة لمساحات الأشكال

2003 موسوعة الكويت العلمية للأطفال الجزء الخامس عشر

عبد الرحمن أحمد الأحمد

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

طرق القياس الرياضية للأشكال الرياضيات والهندسة الهندسة

إذا كان لدينا «مستطيل»، فإنه يقال إن مساحته هي حاصل ضرب قياس طولي ضلعين متجاورين فيه.

فإذا كان طول أحد الضلعين أ وحدة، وطول الضلع الآخر ب وحدة، فإن مساحة المستطيل = أ ب وحدة مربعة.

 

من هذا التعريف يمكن أن نشتق مساحات أشكال هندسية متعددة. وحيث أن المستطيل يعتبر «مربعا». 

إذا كانت أضلاعه الأربعة متساوية في الطول، وليكن قياس أحدها = h وحدة، فإن مساحة المربع = h × h = h² وحدة مربعة.

 

والآن لننظر إلى المثلث س ص ع. سنعتبر أن القطعة المستقيمة ص ع هي قاعدة المثلث، وليكن قياس طولها h من الوحدات.

والآن سنسقط عمودا من رأس المثلث س على القاعدة ص ع، فيلاقي القاعدة في ل، فيكون قياس طول س ل هو ارتفاع المثلث، وليكن ب وحدة.

يمكننا أن نبرهن (باستخدام تعريف مساحة المستطيل) على أن مساحة المثلث س ص ع هي: 12 h ب. أي أن مساحة أي مثلث تساوي نصف حاصل ضرب قياس قاعدة المثلث في ارتفاعه من الوحدات المربعة.

 

ولعلنا نعلم أن «متوازي الأضلاع» هو شكل رباعي، أي يتكون من أربعة أضلاع، بحيث يكون كل ضلعين غير متجاورين فيه متوازيين.

ويمكن استنتاج مساحة متوازي الأضلاع من معرفة مساحة المثلث، التي ذكرناها، وهي نصف قياس قاعدة المثلث مضروبا في قياس ارتفاعه.

والشكل (4) يوضح متوازي الأضلاع س ص ع ك. ويمكننا أن نعتبر القطعة المستقيمة ص ع هي قاعدة متوازي الأضلاع، ونسقط من الرأس ك العمود ك ل على القاعدة ص ع.

فإذا كان قياس القاعدة هو h من الوحدات، وقياس العمود ك ل هو ب من الوحدات، وهو الارتفاع، فإن مساحة متوازي الأضلاع س ص ع ك هي h ب وحدة مربعة. أي إن مساحة أي متوازي أضلاع تساوي حاصل ضرب قياس قاعدته في ارتفاعه وحدة مربعة (شكل 4).

 

أما «المعين» فهو حالة خاصة من متوازي الأضلاع، فهو متوازي أضلاع تكون أضلاعه كلها متساوية في القياس.

وبالطبع ينطبق القانون السابق (الخاص بمساحة متوازي الأضلاع) عليه، فتكون مساحته هي حاصل ضرب قياس قاعدته في ارتفاعه وحدة مربعة.

وفي المعين h ب جـ د (شكل 5) يقال إن القطعتين المستقيمتين h جـ، ب د هما قطرا المعين. والآن يمكن كذلك أن نحسب مساحة المعين بطريقة أخرى، فنقول إن مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب قياس قطريه من الوحدات المربعة، أي تساوي، في هذه الحالة: 12 قياس h جـ × قياس ب د من الوحدات المربعة.

 

أما «شبه المنحرف» فهو شكل رباعي كذلك، يكون فيه ضلعان متوازيان، أما الضلعان الآخران فإنهما يكونان غير متوازيين، كما في الشكل (6)، حيث يكون الضلعان h ب، د جـ متوازيين، أما الضلعان h د، ب جـ فغير متوازيين، إذ إننا لو مددنا القطعة المستقيمة h د من جهة د، ومددنا القطعة المستقيمة ب جـ من جهة جـ، فإنهما سيتقابلان في النقطة هـ.

ولإيجاد مساحة شبه المنحرف h ب جـ د فإنه يمكننا أن نسقط العمودين د و، جـ ز على الضلع h ب، فتكون مساحة شبه المنحرف h ب جـ د هي مجموع مساحات المثلث د ا و، والمستطيل د و ز جـ، و المثلث جـ ز ب.

 

ويمكن أن نستنتج ببساطة أن مجموع هذه المساحات الثلاث يساوي: 12 [قياس القطعة المستقيمة h ب + قياس القطعة المستقيمة د جـ] مضروبا من قياس القطعة المستقيمة د و.

ويسمى الضلعان (أو القطعتان المستقيمتان) h ب، د جـ بالقاعدتين المتوازيتين لشبه المنحرف، ويسمى قياس العمود (أو القطعة المستقيمة) د و بارتفاع شبه المنحرف.

ويلاحظ أن قياس العمود د و يساوي طول العمود جـ ز، لأن الضلعين h ب، جـ د متوازيان، فيصلح طول أحد العمودين د و، جـ ز لأن يكون معبرا عن ارتفاع شبه المنحرف (شكل 6).

 

والآن، ما مساحة «الدائرة»؟

أولا الدائرة هي ذلك المنحنى الذي ترسمه نقطة تتحرك في مستوى بحيث يكون قياس بعدها عن نقطة ثابتة في المستوى مقدارا ثابتا.

تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة، ويسمى القياس الثابت نصف قطر الدائرة.

أما مساحة الدائرة فيمكن إيجادها عن طريق رسم شرائح دائرية، مركزها هو مركز الدائرة.

 

فإذا كان نصف قطر الشريحة هو ر، فإننا يمكننا أن نتصور أننا بسطنا هذه الشريحة بحيث أصبحت على شكل مستطيل مساحته = 2 ط ر ط د حيث ط هي «النسبة التقريبية» = 227 تقريبا، ر هو نصف قطر الشريحة (كما سبق)، د هو سمك الشريحة.

وبعملية حسابية تسمى عملية التكامل يمكن أن نحسب مجموع مساحات هذه الشرائح فينتج لدينا مساحة الدائرة، التي هي ط نق²، حيث ط هي النسبة التقريبية كما سبق، نق هو نصف قطر الدائرة (شكل 7).

 

وبصفة عامة فإنه إذا قسمنا أي شكل هندسي إلى عدد كبير جدا من المستطيلات الصغيرة جدا، فإن مجموع مساحات هذه المستطيلات يكون هو مساحة الشكل الهندسي.

ويلاحظ على كل الأشكال السابقة أنه يمكن رسمها على سطح مستو، ولهذا يقال إن المساحات السابقة كلها مساحات مستوية.

 

فإذا انتقلنا إلى الأشكال المنتظمة غير المستوية، وجدنا، على سبيل المثال:

«المنشور»: هو جسم يتولد من انتقال سطح مضلع موازيا لنفسه في اتجاه ثابت. ويسمى سطح المضلع في كل من وضعيه الأول والأخير «قاعدة المنشور».

وإذا كان اتجاه الانتقال عموديا على مستوى المضلع فإن الأحرف الجانبية للمنشور تكون عمودية على مستوى القاعدة، وتكون الأوجه الجانبية للمنشور سطوحا مستطيلة الشكل، ويقال إن المنشور «قائم».

 

ويوضح شكل (8) منشورات قائمة: ثلاثيا (لأن القاعدة مثلث)، منشورا رباعيا (لأن القاعدة شكلها رباعي)، ومنشورا خماسيا (لأن القاعدة شكلها خماسي).

 

«متوازي المستطيلات»: هو منشور رباعي قائم، كل من قاعدتيه سطح مستطيل. ويوضح شكل (9) متوازي المستطيلات h ب جـ د هـ و ز ح، وفيه كل وجهين متقابلين من أوجهه الستة متوازيان وعلى شكل مستطيل ومتطابقان. وبالتالي تكون مساحة كل وجهين متقابلين واحدة.

فالوجه h ب جـ د يوازي الوجه هـ و ز ح، ومساحة كل منهما = ل × م وحدة مربعة، حيث ل هو قياس الضلع h ب، م قياس الضلع h د. ويلاحظ أن قياس الضلع h ب = قياس الضلع د جـ = قياس الضلع هـ و = قياس الضلع ح ز = ل.

 

كذلك فإن قياس الضلع h د = قياس الضلع ب جـ = قياس الضلع هـ ح = قياس الضلع و ز = م. وبالمثل فإن الوجه h ب و هـ يوازي الوجه د جـ ز ح، ومساحة كل منهما = ل × ن وحدة مربعة حيث ل = طول الضلع h ب، ن قياس الضلع h هـ.

وأخيرا فإن الوجه h د ح هـ يوازي الوجه ب جـ ز و، ومساحة كل منهما م × ن وحدة مربعة، حيث م قياس الضلع h د، ن قياس الضلع h هـ. وبالتالي فإن المساحة الكلية لأوجه متوازي المستطيلات هي:

2 ل م + 2 ل ن + 2 م ن وحدة مربعة

= 2 (ل م + ل ن + م ن) وحدة مربعة

حيث ل، م، ن، هي أبعاده الثلاثة أي قياسات أضلاع ثلاثة فيه تتقابل في نقطة واحدة (شكل 9).

 

و «المكعب» هو حالة خاصة من متوازي المستطيلات، إذ تكون أبعاده الثلاثة متساوية، أي إن قياسات أية أضلاع ثلاثة فيه تتقابل في نقطة واحدة تكون متساوية، وبالتالي تكون جميع أضلاعه متساوية في القياس.

وبالتالي كذلك تكون أوجهه الستة سطوح مربعات متطابقة.

ويوضح شكل (10) المكعب h ب جـ د هـ و ز ح.

 

واضح أن مساحات الأوجه الستة كلها متساوية، وكل منها يساوي ل × ل وحدة مربعة = ل² وحدة مربعة، حيث ل هو قياس ضلع المكعب.

ومن ثم فإن المساحة الكلية لأوجه المكعب = 6 ل² وحدة مربعة، حيث ل هو قياس ضلع المكعب (شكل 10).

 

أما «الأسطوانة الدائرية القائمة» فيمكن توليدها كما يولد المنشور القائم، لكن بدلا من أن يكون لدينا سطح مضلع، يكون لدينا هنا سطح دائري.

وشكل (11) يوضح أسطوانة دائرية قائمة. يسمى الخط الواصل بين مركزي الدائرتين العلوية والسفلية بمحور الأسطوانة.

وتكون المساحة الجانبية للأسطوانة = 2 ط نق ع وحدة مربعة، حيث

ط هي النسبة التقريبية = 227 تقريبا،

نق = نصف قطر السطح الدائري

ع = ارتفاع الأسطوانة.

 

أما المساحة الكلية لسطح الأسطوانة فتساوي المساحة الجانبية للأسطوانة + مساحة القاعدة السفلية + مساحة القاعدة العلوية (تذكر أنه يقال للسطح المنتقل عموديا في وضعه الأول «القاعدة السفلية»، وفي وضعه الأخير «القاعدة العلوية»، كما ذكرنا في المنشور).

ونحن نعلم أن مساحة الدائرة = ط نق² وحدة مربعة

حيث ط النسبة التقريبية = 227 تقريبا،

نق = نصف قطر الدائرة.

وبالتالي فإن المساحة الكلية لسطح الأسطوانة = 2 ط نق ع + ط نق² وحدة مربعة = 2 ط نق (ع + نق) وحدة مربعة. (شكل 11).

 

«الكرة» إذا تحركت نقطة في الفراغ بحيث تكون دائما على بعد ثابت من نقطة معلومة، فإنها ترسم كرة (أو سطحا كرويا).

ويقال للنقطة الثابتة إنها مركز الكرة، ويسمى المقدار الثابت نصف قطر الكرة. ويوضح شكل (12) كرة، ومساحة سطح الكرة = 4 ط نق² وحدة مربعة حيث نق نصف قطر الكرة، ط هي النسبة التقريبية (كالمعتاد) (شكل 12).

 

والآن، إذا قطعنا الكرة بمستوى فإنه ينشأ لدينا سطحان، يسمى كل منهما «قبة». وشكل (13) يوضح مستوى يقطع كرة.

والمساحة الجانبية للقبة = 2 ط نق ع وحدة مربعة

حيث نق نصف قطر الكرة، ع ارتفاع القبة، أي طول العمود الساقط من أعلى نقطة في القبة على السطح الدائري الناشئ من تقاطع المستوى مع الكرة، ط: النسبة التقريبية (كالمعتاد). ويوضح شكل (14) قبة.

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]