مقاييس موثوقية متوسط العينة

293 2 دقائق

2012 استخدام الإحصاء لفهم البيئة

فيليب ويذر وبني أ.كوك

KFAS

مقاييس موثوقية متوسط العينة الرياضيات والهندسة الهندسة

تجعل الخصائص الرياضية للتوزيع الاعتيادي أيضا، من الممكن تقدير كيفية الاعتماد على متوسط العينة، باعتباره تقديراً لمتوسط المجتمع.

والنظرية خلف هذا الأمر تسمى نظرية الحد المركزي. فإن حصلنا على عينات متعددة من مجتمعنا فإن الوسط يمكن حسابه لكل منها.

فإذ أمكن رسم متوسطات هذه العينة في شكل مدرج تكراري، فإننا سنحصل على توزيع طبيعي لمتوسطات العينة حول قيمة متوسطة إجمالياً لهذه المتوسطات.

ويمكننا عندئذٍ حساب التباين في هذا التوزيع لمتوسطات العينات والحصول على الانحراف المعياري لمتوسط المتوسطات، وهذا المقياس يسمى عادة بالخطأ المعياري في الوسط (SE).

ومن الناحية العملية فإننا لا نحتاج للحصول على عينات متعددة، وبدلاً من ذلك فباستخدام عينا البسيطة فإن الخطأ المعياري يتم حسابه إما بقسمة تباين العينة (والذي يتم الحصول عليه في الخطوة 3 للمربع 2 – 3) على عدد نقاط البيانات (n).

والحصول على الجذر التربيعي للإجابة أو بقسمة الانحراف المعياري للعينة (والذي تم الحصول عليه في الخطوة 4 في المربع 2 – 3) على الجذر التربيعي لعدد نقاط البيانات (انظر المربع 2 – 5).

وباتباع منطق نظرية الحد المركزي فهناك مقياس آخر لموثوقية وسط العينة وهو النطاق الذي يقع بداخله 95% من متوسطات العينة المحتملة.

وإننا نسمي هذا القياس 95% حدود الثقة للمتوسط وإذا كان عدد نقاط البيانات كبيراً (عادة 30 أو أكثر)، فإننا ببساطة نضرب الخطأ المعياري في القيمة 1.95 (من الجدول z للقيمة P = 0.05 في الجدول 2 – 3).

ولكن إذا كان حجم العينة صغيراً (n أقل من 30) فإننا أقل ثقة بأن الانحراف المعياري في العينة يمثل تقديراً يمكن الاعتماد عليه كانحراف معياري للمجتمع وإننا نحتاج لاستخدام معامل تصحيح لمعادلة ذلك. وبدلاً من القيم z فإننا نستخدم جدولاً للقيم t (ويوجد اقتباس منه مبين في الجدول 2 – 4) حيث القيمة المطلوبة لا تعتمد فقط على مستوى الثقة المطلوب (95% في هذه الحالة)

ولكن أيضاً على عدد نقاط البيانات المبني على أساسها حسب الوسط. ويتم الرجوع للجدول باستخدام حجم العينة – 1 (انظر المساحة المظللة في الجدول 2 – 4).

وهذا الحجم المصحح للعينة يسمى درجات الحرية (df) وهو يضع في الاعتبار حقيقة أننا نقوم بتقديرات من المجتمع (درجات الحرية تم شرحها بصورة أكبر في الفصل التالي: المربع 3 – 1).

ومن الجدول 2 – 4 يمكننا أن نرى أنه مع زيادة حجم العينة فإن القيمة t تصبح أقرب إلى القيمة المكافئة z (عند حجم العينة الكبير بشكل لا نهائي حيث درجات الحرية df = ∞ و t = z) والمربع 2 – 6 يبين حساب حدود الثقة 95% للمتوسط.