كيفية حساب الفيزيائيون احتمال “حادث مركب”

1997 عجائب الضوء والمادة تجريباً وتأويلاً

KFAS

كيفية حساب الفيزيائيون احتمال حادث مركب الفيزياء

لقد بينت لكم ، من خلال الأمثلة ، كيف يُحسب احتمال حادث يمكن أن يقع بعدة أساليب : الواجب عندئذ أن نرسم سهماً لكل أسلوب وأن نجمع كل الأسهم التي نحصل عليها.

وأقصد ((بجمع الأسهـم))  العملية التي تقضي بربطها واحدا بالآخر، بحيث ينطبق رأس كل سهم على ذيل السهم الذي يليه ، وبرسم السهم ((الحصيلة)) النهائي . ومربع طول هذا السهم النهائي يساوي احتمال وقوع الحادث المقصود .

ولكي تأخذوا فكرة أكمل عن هذه النظرية الكمومية، سأريكم الآن كيف يحسب الفيزيائيون احتمال حادث مركّب ، ونقصد بذلك حادثاً يمكن تقسيمه إلى مراحل، أو يحوي عدة ((حوادث فرعية)) مستقلة.

لنا بهذا الصدد مثال جيد في حادث مركَّب هو تعديل التجارب التي عالجناها، تلك كنا أرسلنا فيها فوتونات حمراء على سطح وحيد زجاجي، كي نبرز ظاهرة الانعكاس الجزئي.

وبدلا من أن نضع في A مضاعفاً فوتونياً، نضع حاجزاً (شكل 37) فيه ثقت لا يسمح بالمرور إلا للفوتونات التي تصل إلى A لتمر بعدئذ إلى صفيحة زجاجية موضوعة في B، ونضع كاشفاً في C. فكيف نحلل احتمال ذهاب الفوتون من المنبع إلى C؟.

 

نستطيع أن نتمثل هذا الحادث على أساس تتابع مرحلتين: أولاهما ذهاب الفوتون من المنبع إلى A بعد أن ينعكس على سطح الزجاج، والثانية ذهاب الفوتون من A إلى C، حيث يوجد الكاشف، بعد ارتداده عن الصفيحة الزجاجية الموجودة في B.

فبكل واحدة من هاتين المرحلتين يتعلق سهم حصيلة – ((سعة))  (سأستخدم بعد الآن هاتين الكلمتين، سهم وسعة ، بمعنى واحد) – ويمكن حساب كل من السعتين بتطبيق القواعد المعهودة.

ونحن نعلم أن طول السعة المتعلقة بالمرحلة الأولى يساوي 0.2 (مربعها 0.04، هو احتمال الانعكاس عن سطح زجاجي وحيد) ويتجه باتجاه معين، لنقل اتجاه العقرب الصغير لميقاتية تشير إلى رقم الساعة الثانية (شكل 37).

ولحساب السعة المتعلقة بالمرحلة الثانية نضع المنبع في A مؤقتا ، فيرسل فوتونات إلى صفيحة الزجاج الموضوعة فوق A. لنرسم السهمين المتعلقين بالانعكاس عن وجهي الصفيحة، ولنجمعهما معا .

لنفترض أننا نحصل على سهم حصيلة طوله 0.3 ويتجه باتجاه العقرب الصغير لميقاتية تشير إلى رقم الساعة الخامسة.

 

والآن تنطرح  مسألة تركيب هذين السهمين الحاصلين (الحصيلتين) تركيباً يعطي سعة الحادث المقصود بتمامه (ذهاب الفوتون من المنبع إلى الكاشف C) . وهذا ما سيقودنا إلى تناول هذين السهمين تناولاً جديداً بطريقة التصغير reduction والتدوير.

طول السعة الأولى هنا 0.2 وتشير إلى ((الساعة الثانية)). تصوروا أننا انطلقنا من ((سهم واحدي)) أي سهم طوله يساوي 1 ومتجه باتجاه الشاقول الصاعد (يشير إلى الساعة 12) .

فإذا أجرينا على هذا السهم تصغيراً ينزل بطوله من 1 إلى 0.2 ثم تدويراً يحرفه من الساعة 12 إلى الساعة 2، نحصل على سعة المرحلة الأولى (من S إلى A).

كما أن بالإمكان اعتبار السهم المتعلق بالمرحلة الثانية (من A إلى C) على أنه ناجم عن تصغير (من 1 إلى 0.3) وتدوير (من الساعة 12 إلى الساعة 5) .

 

إن تركيب السهمين المتعلقين بالمرحلتين يُحصل عليه بإجراء عمليتي التصغير والتدوير واحدة بعد أخرى. نبدأ إذن بتصغير السهم الواحدي من 1 إلى 0.2 ونقوم بتدويره من الساعة 12 إلى الساعة 2 ؛ ثم نجري على السهم المحصول عليه عندئذ تصغيراً ثانيا من0.2  إلى ثلاثة أعشار 0.2 ، وتدويراً ثانياً بمقدار 5 ساعات نجد في نهاية هذه العمليات سهماً طوله 0.06 ومتجها نحو رقم الساعة السابعة. والاحتمال الناجم عن هذا السهم الأخير يساوي مربع 0.06، أي 0.0036 .

إذا تفكرنا جيداً بما فعلناه نرى أننا كان بإمكاننا الوصول إلى هذه النتيجة نفسها إذا أجرينا ، دفعة واحدة على السهم الواحدي، تدويراً يساوي مجموع التدويرين (الساعة 2 + الساعة 5 = الساعة 7) وتصغيراً يساوي جداء التصغيرين (0.2 × 0.3  = 0.06) أي جداء طولي السهمين .

إن وجوب أن نجمع الزاويتين، للحصول على اتجاه السهم النهائي الأخير، أمر واضح جداً: ذلك أن اتجاه السهم، أي سهم،  يتعين بزاوية دوران عقرب المزمان التخيلي: ومن الطبيعي أن يكون السهم الممثل لحادث ذي مرحلتين متواليتين ذا اتجاه ناجم عن جمع زاوية دوران المرحلة الأولى مع زاوية دوران المرحلة الثانية.

 

إن العملية التي أتيت على وصفها تسمى ((ضرب)) سهم بسهم. وهي تحتاج إلى بعض الشروح.

لنعتمد ، للحظة ، وجهة  نظر الإغريقيين في عملية الضرب (ليس لهذا الأمر شأن في موضوع محاضرتي).

فللحصول على أعداد ليست بالضرورة أعداداً صحيحة، كان الإغريق يمثلون الأعداد بقطع مستقيمة. وكل عدد قابل ٌلأن يُفهم على أساس أنه ناجم عن تحويل يتناول القطعة الواحدية، وهو إما تصغير أو تكبير. افترضوا، مثلا ، أن A (شكل 38) هي القطعة الواحدية؛ عندئذ تمثل B العدد 2 ، و C العدد 3.

وبعد هذا كيف نعمل لضرب 3 ب 2؟ يكفي أن نطبق التحويلات واحداً بعد الآخر. انطلق من A، القطعة الواحدية ، فأكبِّرها 2 مرة، ثم بعد ذلك 3 مرات ( أو،  وهذا كذاك، 3  مرات ثم 2 مرة – لا أهمية للترتيب)  احصل عندئذ على القطعة D، التي يمثل طولها العدد 6.

 

وما العمل الآن لو أردت ضرب 3/1 ب 2/1 ؟ اتخذ القطعة D كقطعة واحدية ، أُصغرها إلى نصفها (فأحصل على C)، ثم أصغرها إلى ثلثها فأحصل على القطعة A التي تمثل 6/1 من C.

إن الضرب السهمي يعمل بهذه الطريقة نفسها (شكل 39) . نطبق على السهم الواحدي التحويلات التي تمثل شتى ((الضروب)) الواجب إجراؤها، واحداً بعد آخر، علماً أن الفرق الوحيد هنا هو أن ضرب الأسهم معاً ينطوي على عمليتين اثنتين بدلاً من واحدة : تصغير وتدوير.

فلضرب السهم V بالسهم W نبدأ بتصغير وتدوير السهم الواحدي بما يتيح الحصول على V، ثم نصغِّر وندوِّر V بالمقادير التي يدل عليها W، وهنا أيضاً ليس لترتيب العمليات أهمية. فالضرب السهمي يخضع إذن لقواعد التحويل المعروفة في مجموعة الأعداد العادية

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]