نبذة تعريفية عامة حول “هندسة الرياضيات”

2004 موسوعة الكويت العلمية للأطفال الجزء السادس عشر

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

هندسة الرياضيات الرياضيات والهندسة الهندسة

تبحثُ هندسةُ الرياضيات في العلاقاتِ بين النقطِ والمستقيمات والمستويات والسّوح بشكل عام.

وإذا كانت النقطُ والمستقيماتُ واقعةً في مستوى واحدٍ فإنَّ هذه «هندسة مستوية»، وأما إن كانت تقعُ في أكثر من مستوىً فيقالُ «هندسة فراغية».

ومن الأشكالِ الهندسيةِ المستوية البسيطة: المستطيلُ، والمربعُ (وهو حالة خاصة من المستطيل تكون جميعُ أضلاعه متطابقة في القياس)، والمثلث، والدائرة.

 

والمثلثات أنواعٌ: المثلثُ قائمُ الزاوية، أي الذي فيه زاويةٌ قائمة، والمثلث متطابق الساقين، الذي يكون فيه قياساً ضلعين متطابقين، والمثلث متطابق الأضلاع، الذي فيه الأضلاع الثلاثة لها نفس القياس.

والزاوية القائمة هي التي قياسُها = 90° بالتقدير الستيني أو   بالتقدير الدائري وط =    تقريباً.

والزاوية التي قياسها أقلّ من 90° تسمى زاويةً حادة، والتي قياسها أكبر من 90° تسمى زاويةً منفرجة. (انظر شكل 1).

 

فالمُربع زواياه الأربع قائمة، وكذلك المستطيل زواياه الأربع قائمة أما المثلث القائم الزاوية تكون زاويتاه الأخريان كل منهما حادة، وفي حالة المثلث المنفرج الزاوية تكون الزاويتان الأخريان كل منهما حادة.

ويُشيَّد بناءُ الهندسة المستوية – في الواقع – على مجموعاتٍ مختلفاتٍ من المسلمات التي نسلمُ بصحتها بداهةً دون أن يكونَ لدينا برهانٌ على ذلك.

ومن أمثلةِ المسلّمات التي يُشيَّد عليها بناءُ الهندسةِ المستوية (انظر شكل 2): إذا قطعَ مستقيمٌ جـ مستقيمين أ، ب وتحقق أحدُ الشروطِ الثلاثة التالية، كان المستقيمان متوازيين: وجود زاويتين د، ه قياساهما متساويان، وجود زاويتين د،و قياساهما متساويان، وجود زاويتين ز،و قياساهما متساويان.

 

وللهندسةِ المستوية نظرياتُها الأساسية، والتي منها:

– في المثلث قائم الزاوية تكون مساحةُ المربع المنشأ على الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) تساوي مجموعَ مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين. (نظرية فيثاغورس).

ففي شكل (3) المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب، أي أن أ جـ هو وتره، ومن ثم تكونُ مساحةُ المربعِ أ ج ه د = مجموعَ مساحتي المربعين أ ب ح ط، ب جـ و ز

 

– في أي مثلث إذا نُصِّفَ أيُّ ضلعٍ فيه وليكن ب جـ في النقطة د (شكل 4)، فإِنّ مجموعَ مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين أ ب، أ جـ يساوي ضعفَ مجموعِ مساحتي المربعين المنشأين على الضلعِ المنصِّف أ د والقطعة المستقيمة ب د. (نظرية أبولونيوس).

 

– أيةُ زاويةٍ مرسومةٍ في نصفِ دائرة تكون قائمة، وبعبارة أخرى: قياس الزاوية المرسومة في نصف دائرة =  (بالتقدير الدائري).

ففي شكل (5) الزاوية أ جـ ب التي يكوِّنُ طرفاها أ، ب القطرُ أ ب، ويقعُ رأسُها جـ أعلى محيط الدائرة، قياسها =  (بالتقدير الدائري)، أي أنها قائمة.

 

– المماس لأي دائرة يتعامدُ مع نصف القطر المار بنقطة التماس.

ففي شكل (6) يكون المستقيمُ أ مماساً للدائرة التي مركزها م عند النقطة ن باعتبارها النقطة الوحيدة التي يشتركان فيها، وهو يتعامدُ مع نصفِ قطرِها م ن، أي أنّ الزاوية المحصورة بينهما تكون قائمةٌ.

 

– العمودُ الساقطُ من مركز دائرةٍ ما على أي وترٍ فيها ينصِّفُه. وبالعكسِ فالعمودُ المقامُ من منتصفِ أي وترٍ في دائرة يمرّ بمركزها.

ففي شكل (7) يكون العمودُ م جـ الساقطُ من مركز الدائرة م منصِّفاً لوترها أب في جـ.

 

– في أي متوازي أضلاع يكونُ كلُّ ضلعين متقابلين متساويين في الطول، وكل زاويتين متقابلتين قياساهما متساويان، والقطران يُنَصِّف كُلٌّ منهما الآخر.

في شكل (8)، الذي يمثل متوازي أضلاع أ ب جـ د قطراه أ ج، ب د، يكون: قياس القطعة المستقيمة أ ب= قياس القطعة المستقيمة د جـ، قياس القطعة المستقيمة أ د = قياس القطعة المستقيمة ب جـ، قياسُ الزاوية ب أ د = قياسَ الزاوية د جـ ب، قياسُ الزاوية أ ب جـ = قياسَ الزاوية جـ د أ، طولُ القطعةِ أ م = قياس القطعة جـ م، قياس القطعة ب م = قياس القطعة د م.

 

– في أي مثلثٍ قائمِ الزاوية يكونُ قياس القطعِ المستقيمةِ الواصلةِ من رأس القائمةِ إلى منتصفِ الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) = نصفَ قياس الوتر.

ففي شكل (9)، المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في أ، د منتصفُ الضلعِ ب جـ، يكونُ قياس القطعةِ المستقيمة أ د = قياس القطعةِ المستقيمة ب د = قياس القطعة المستقيمة د جـ.

 

– مجموعُ قياساتِ الزوايا الدّاخلية لأي مثلث = 180 (بالتقدير الستينيّ).

ففي شكل (10) مجمع الزوايا الداخلية له أ، ب، جـ = 180° .

 

وأما الهندسة الفراغية فتبحث في علاقاتِ المستقيماتِ التي قد لا يجمعُها مستوى واحدٌ، وعلاقاتِ المستقيم بالمستوى، والمستوياتِ ببعضِها، وخصائصِ الأجسام وحجومِها ومساحاتِ سطوحِها

وقد حدث تطورٌ مهمٌّ في الهندسة، إذ عُبِّرَ عن العلاقات الهندسية بمعادلات جبرية، فيما يسمى الهندسة التحليلية. ومن ثم كانت هناك «الهندسةُ التحليلية المستوية» و«الهندسة التحليلية الفراغية».

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]