السطوح الاصغريه وامتدادها

166 9 دقائق

2000 الرياضيات والشكل الأمثل

ستيفان هيلدبرانت و انتوني ترومبا

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

ثلاثة من عدد غير منته من السطوح الأصغرية "المختلفة فعلاً"، والتي تمتد على حدود معينة.

وهناك تركيبة حدودية أخرى <C₁,C₂,S>لها عدد غير منته من الحلول "المختلفة حقاً" مؤلفة من سطوح لولبية يمكن الحصول عليها من سطح أسطواني S ومستقيمين متعامدين C₁ و C₂ يمران بمحور الاسطوانة على ارتفاعين مختلفين.

وقد لاحظ >كورانت< أن باستطاعتنا الحصول على أغشية صابونية (أي قيم أصغرية للمساحة) تمتد على إطار مفروض <S.C> بحيث تكون مختلفة حقاً، بل ومن أنماط طبولوجية مختلفة (انظر الشكل السفلي).

هذا وينشأ وضع جديد إذا كان للسطح الحامل ذاته S حدود، واذا كان الغشاء الصابوني متصلاً بهذه الحدود ولو جزئياً على الأقل، وإذ ذاك لا تكون القاعدة 1 صحيحة، لأن الغشاء الصابوني الآن ليس حر الحركة تماماً نظراً إلى كون حدود S تشكل عائقاً.

مسألة العوالق في حالة حدود حرة (جزئياً).

بيد أن الغشاء الصابوني سيظل يلاقي "الجزء الداخلي " من السطح الحامل S بزاوية قائمة. ومن المهم أن نلاحظ أن الحدود الحرة لغشاء صابوني تتصل مماسياً tangentially بحدودS في الحالة العامة. وقد جرى تحقق هذا الأمر بتجربة (انظر الصورة الفوتوغرافية في أعلى اليسار) وببرهان رياضياتي دقيق.

بيد أنه قد يكون للحدود الحرة Σ في حالات خاصةجداً نقطة فريدة (شاذة) singularity على شكل قرنة cusp،

حدود حرة متصلة مماسياً بحدود السطح الحامل.

وهذه يمكن توليدها بالطريقة التالية: خذ صفيحة زجاجية S ، وثبت سلكاً C في نقطة ما P₁ من الوجه العلوي للصفيحة S، ثم دور C حول S مروراً بحرف S ، وبعد ذلك ثبته في نقطة ما P₂ من الوجه السفلي من S ، (انظر الشكل في أعلى الصفحة التالية). وما دام C يشبه دائرة قطعت في إحدى نقاطها وحركت نهايتاها الطليقتان مبتعدتين إحداهما عن الأخرى قليلا، فإنه يكون للغشاء الصابوني المتشكل هيئة "لسان"، بيد أنه إذا شوهنا C بالطريقة السليمة، فسيتحول اللسان إلى عروة loop . واذا أجرينا هذه التجربة بعناية زائدة، فإننا نحصل على قرنة كوضع متوسط للسلك. وتبين الصور المعروضة في الأسفل المراحل الثلاث.

فضلاً على ذلك، فإن الجزء B من الشكل العلوي في الصفحة التالية يمثل إطارا مؤلفا من نصف مستو S ومنحن C يحد سطحا أصغرياً حدوده الحرة تحوي قرنة.

وهذا السطح، الذي يمكن أن ينمذج بوساطة غشاء صابوني، اكتشف من قبل <هينيبرك<Henneberg عام 1876، وحدوده الحرة هي منحن يسمى قطع نيل المكافئ Neil parabola أو قطعاً مكافئًا نصف مكعب semicubical parabola

)القسم A) ويمكن تمثيل فرعيه بالمعادلتين Y=X^3/2 و Y=-X^3/2 ،في حين أن معادلة القطع المكافئ العادي هي Y=X² .

ليست الحدود الحرة على السطوح الحاملة S هي الحالات الوحيدة التي يمكننا أن نحصل فيها على حواف سائلة للأغشية الصابونية. فمن الممكن أن تتلاقى أغشية صابونية عديدة موجودة داخل إطار في حافة أو أكثر لتشكل نسقاً مستقراً من الأغشية، أي منظومة من السطوح ذات المساحة الأصغرية داخل تشكيل مفروض من الحدود، وعلى سبيل المثال، فمن الممكن توليد ثلاثة أقواس C₁ وC₂ وC₃ متلاقية في نقطتين (انظر الشكل السفلي) بوساطة منظومة من الأغشية الصابونية لها حافة سائلة مشتركة Σ يشكل عندها كل زوج من الأغشية الثلاثة زاوية قدرها º120.

ويمكن طرح مثال آخر بوساطة إطار يؤلف حروفاً لرباعي وجوه (انظر الصورة على الصفحة التالية). يحد هذا الإطار منظومة من ستة أغشية صابونية ذات أربع حواف سائلة. وهنا أيضاً يجب أن يصنع أي غشائين متلاقيين في الحافة نفسها زاوية قدرها º120. فضلاً على ذلك، فإن للحواف الأربع السائلة رأساً مشتركاً واحداً بالضبط، كما أن كل زوج من الحواف يتلاقى بزاوية Ø قدرها "16´28º109 ؛ وبالضبط فإن Ø هي الزاوية التي جيب تمامها 3/-1.

اكتشف پلاتو تجريبيًا أن هذين المثالين نموذجيان. أنه لا يمكن أن يحدث شيء آخر. وهكذا لدينا القاعدة الثانية للتشكلات المستقرة للأغشية الصابونية:

القاعدة 2 تتقاطع ثلاثة سطوح أصغرية ملساء من منظومة سطوح ذات مساحة أصغرية في خط أملس بزاوية قياسها º120 . وإن أربعة فقط من هذه الخطوط، كل منها ناتج من تقاطع ثلاثة سطوح. يمكن أن تتلاقى في نقطة واحدة، يكون قياس الزاوية بين أي خطين متجاورين هو "16´28º109.

إن البرهان الرياضياتي الدقيق على ذلك الجزء من هذه القاعدة المتعلق بالزاوية º120 معروف منذ أمد بعيد، ومن السهل إجراؤه شريطة أن نفترض سلفا أن خطوط التقاطع ملساء. لكن لم يقدم إثبات مرضٍ للجزء الثاني من القاعدة إلا حديثًا.

إن الفكرة الأساسية التي استخدمت في برهان الجزء الثاني من القاعدة 2 هي التالية:

لنفترض أنه معروف لدينا أن السطوح الأصغرية وخطوط تقاطعها ملساء. عندئذ نختار نقطة ما P من منظومة السطوح، ونكبر أكثر فأكثر مساحة جوار للنقطة P كما لو كنا نتفحصها بمجهر قوته أكثر فأكثر.

منظومة من الأغشية الصابونية.

وفي النهاية تبدو جميع السطوح منبسطة وجميع الخطوط مستقيمة. وتقتضي خاصة المساحة الأصغرية لمنظومة السطوح الأصلية أن تكون المنظومة الجديدة المشكلة من السطوح المنبسطة التي حصلنا عليها بعملية التكبير ذات مساحة أصغرية أيضاً.

لنرسم الآن كرة مركزها P، ولنجعلها تقطع مجموعة السطوح المكبرة، وعندئذ تكون خطوط التقاطع دوائر عظمى. وبما أن هذه المنظومة ذات مساحة أصغرية، لذا فإن ثلاثاُ فقط من هذه الدوائر العظمى يمكن أن تتلاقى في رأس حيث يجب أن تصنع زوايا قياسها °120، وإلا لكان بالإمكان تصغير مساحة المنظومة ومن ثم لن تكون أصغرية.

وهكذا فإن السؤال الذي يرد بعد ذلك هو التالي: ما هي جميع الشبكات الممكنة من الدوائر العظمى على الكرة التي يتلاقى كل ثلاث منها على حدة بزوايا متساوية قدرها °120؟ لحل هذه المسألة، لا بد لنا من حل مسألة شتاينر على الكرة بدلاً منن حلها في المستوي، وبالإفادة من علم المثلثات الكروية، فإن بمقدورنا إثبات أن عشراً فقط من هذه الشبكات الجيوديزية يمكن أن يتحقق. كما أن إجراء تحليل أكثر تفصيلاً يبين أن ثلاثاً فقط من الشبكات العشر هذه ذات مساحة أصغرية. وهي الثلاث الأولى ( A، B، C) في البيان المصور (الكاتلوك) للشبكات العشر المرسومة في الصفحتين التاليتين. وتقابل الشبكة الأولى سطحاً منبسطاً، في حين تقابل الشبكتان الأخريان المنظومتين المرسومتين في الشكل السفلي من الصفحة 122 والشكل السفلي من هذه الصفحة. وهذا يثبت صحة القاعدة 2.

هناك عشر شبكات ممكنة من الدوائرالعظمى على كرة بحيث تتقابل كل ثلاث من هذه الدوائر على حدة بزوايا متساوية قدرها 120°.وهذه الشبكات مبينة هنا في الأشكال من A إلى J هذا وتتوافق الأغشية الصابونية الممثلة في الأشكال A و B و C مع منظومات السطوح التي نحصل عليها "بعملية التكبير"، في حين تختلف منظومات الأغشية الصابونية في الأشكال من D إلى J عن "الأشياء المكبرة" الموافقة التي تسمى "مخاريط" والتي تولد بجميع الأقواس المستقيمة المرسومة من مركز الكرة إلى نقاط الشبكة الكروية. وتوفر هذه الملاحظات "برهاناً" فيزيائياً على أن المخاريط في الأشكال A و B و C مصغرة للمساحة، في حين أن المخاريط من D إلى J ليست كذلك. ويوجد أيضاً إثبات رياضياتي لهذه الحقيقة.

ويمكن شرح الشبكات العشر من A إلى J بإجاز على النحو التالي : الشكل A هو دائرة عظمى : B ثلاثة أنصاف لدوائر عظمى : C رباعي وجوه كروي : D سداسي وجوه كروي : E موشور كروي قاعدته مخمس : F موشور كروي على مثلث : g اثنا عشري وجوه كروي : H مؤلف من رباعيي أضلاع وثمانية مخمسات متطابقة : I مؤلف من أربعة رباعيات أضلاع وأربعة مخمسات متطابقة : J مؤلف من ثلاثة رباعيات أضلاع وستة مخمسات.

وتكون منظومات الأغشية الصابونية التي تمتد على أطر مؤلفة من أحرف كثير وجوه تشكلات من السطوح غاية في الجمال. ويمكن لإطار أن يحد عدة تشكلات مختلفة، بل "مختلفاً حقاً"، من الأغشية الصابونية. وينتج مثال مدهش جداً لهذه الظاهرة لدى استعمال إطار ثماني الوجوه، إذ يمكن توليد تشكلات مختلفة من الأغشية الصابونية محدودة بهذا الإطار بأن نسحب الإطار السلكي من المحلول الصابوني بطرق مختلفة؛ ومن الضروري هنا القيام ببعض التجارب.

وغالباً ما يمكن تحويل تشكل من الأغشية الصابونية إلى تشكل آخر مختلف بأن ننفخ على السطوح برفق؛ بيد أن هز الإطار قد يكفي أحياناً لبلوغ هذه الغاية.

حل ممثل بالأغشية الصابونية لمسألة شتاينر في حال أربع نقاط (A)، وخمس نقاط (B).

ولحل مسألة شتاينر العامة تجريبياً بوساطة الأغشية الصابونية، يمكن تطبيق قاعدة الـ °90 وقاعدة الـ °120. ونعطى في هذه المسألة n نقطة، ويطلب إلينا البحث عن شبكة من الخطوط تصل بين جميع النقاط المفروضة ولها أصغر طول كلي ممكن.

لنفترض أننا صنعنا إطاراً مؤلفاً من صفيحتين متوازيتين من الزجاج أو من البلاستيك الشفاف. ثم وصلناهما بوساطة n من الدبابيس المتوازية التي لها الكبر نفسه والتي تلاقي كلتا الصفيحتين عمودياً. فإذا غمرنا هذه التركيبة في محلول صابوني ثم سحبناها، فإننا نجد أن منظومة من الأغشية الصابونية المستوية قد تكونت،

وهذه الأغشية تتصل بالدبابيس، ولها نمطان من الحواف السائلة كل منهما مؤلف من قطع مستقيمة. إن أحد هذين النمطين يلتصق بالزجاج (أو البلاستيك) الذي يلاقيه بزاوية °90 لأن هذه الحواف السائلة في حدود حرة على سطح حامل. أما النمط الثاني فتتلاقى فيه ثلاثة أغشية مشكلة ثلاث زوايا كل منها °120. (انظر الشكلين في يسار الصفحة السابقة). لنفترض الآن أننا علمنا مواضع n من النقاط المفروضة على إحدى الصفيحتين، ثم ثبتنا الدبابيس عند هذه العلامات عندئذ يوفر النظام الجزئي من الأحرف السائلة على أي من الصفيحتين حلاً تجريبياً لمسألة شتاينر المفروضة، ذلك أن هذه الحروف تخضع للقواعد نفسها التي تخضع لها حلول شتاينر. إضافة إلى ذلك، من الواضح أن المساحة الكلية لمنظومة الأغشية الصابونية تساوي حاصل ضرب المسافة بين الصفيحتين في الطول الكلي للأحرف السائلة الموجودة على إحدى الصفيحتين. ولما كانت منظومة الأغشية الصابونية ذات مساحة أصغرية، فإن المنظومة الجزئية subsystem للأحرف الموجودة على صفيحة واحدة يجب أن تجعل طول جميع الوصلات بين النقاط المفروضة التي عددها n أصغرياً.

السطوح الأصغرية الدورية

كان. A.H>شوارز< أول من حل مسألة پلاتو في حالة أبسط محيط غير مستو C فقد اختار C رباعي أضلاع quadrilateral مؤلفاً من أربعة من الأحرف الستة لرباعي وجوه منتظم. وقد أعلن شوارز نتائجه عام 1865، كما أنه قدم أيضاً ثلاثة نماذج كان قد صممها. وكانت أطر هذه النماذج مصنعة من سلك دقيق، كما كانت السطوح الأصغرية الممتدة على الأطر مؤلفة من قشرة من الجلاتين (الهلام). والنموذج الأول مبين في الشكل العلوي⁽¹⁾.

سطح شوارزي في إطار متساوي الأضلاع. لدينا هنا نسق متصل من أربع قطع مستقيمة تحد هذا السطح الأصغري.

اكتشف شوارز أن الأغشية الصابونية ذات الحدود الحرة على سطح S يجب أن تلاقي S عمودياً. وقد ساقه هذا إلى دراسة المسألة التالية: لتكن S₁> ، …، S₁، C_k، ….،C₁ <سلسلة شوارز Schwarz chain، وهي صفيف مترابط مؤلف من k من الخطوط المستقيمة C₁ ، …، C_kو l من السطوح المستوية S₁ ، …، S₁ عندئذ يتحدد سطح أصغري له حدود على السلسلة ويقطع السطوح S₁ ، …، S₁ على طول أحرف سائلة بزاوية قدرها °90. لقد كان من الممكن حل مسائل من هذا النوع في أيام شوارز. فضلاً على ذلك، اكتشف شوارز مبدأي انعكاس للسطوح الأصغرية reflection principles for minimal surfaces

(1)قدم البحث الذي يصف هذا العمل إلى أكاديمية برلين عام 1867 ونال جائزة الأكاديمية. إن بحث شوارز هذا ما زال يعد واحداً من الروائع في تاريخ الرياضيات وحتى القارئ الحديث، فإنه لابد أن يستمتع به نظراً لجمال أسلوبه وتماسك عرضه. وتجدر الإشارة هنا إلى أن B>.ريمان< كان قد حل المسألة في عامي 1861 و 1862، لكنه لم ينشر نتاجه. وكان تلميذ ريمان هاتندورف Hattendorff هو الذي راجع مخطوطته عام 1866 ثم نشرها عام 1867 بعد وفاة ريمان.

مهمين هما: انعكاس سطح أصغري بالنسبة إلى خط مستقيم وانعكاسه بالنسبة إلى مستو. ويسمح كل من هذين المبدأين بإقامة سطوح أصغرية "كبيرة" من قطع صغيرة. ويمكن صياغة مبدأي الانعكاس هذين على النحو التالي:

القاعدة 3: إذا كان جزء من حدود سطح أصغري M محتوى في خط مستقيم، فإن الانعكاس M* لهذا السطح بالنسبة إلى هذا النمط هو سطح أصغري أيضاً، كما يشكل اتحاد M و M* سطحاً أصغرياً أملس أيضاً.

القاعدة 4: إذا لاقى سطح أصغري M مستوياً بزاوية قائمة، فإن خياله المرأوي (خياله في مرآة مستوية M* (في المستوي هو سطح أصغري يكون مع M سطحاً موسعاً هو سطح أصغري أملس.

لنأخذ الآن سطحاً أصغرياً M حدوده مؤلفة من عدة قطع تقع إما على خطوط مستقيمة وإما على مستويات تلاقي M عمودياً. عندئذ يمكننا عكس M بالنسبة إلى كل قطعة مستقيمة من الحدود، ويمكننا أيضاً تشكيل جميع صور M في مرآة عبر تلك المستويات التي تلاقيها M بزاوية قائمة. ونحصل بهذه الطريقة على سطح جديد يتألف من السطح الأصلي M ، وهو الوحدة الأساسية basic unit ، ومن انعكاساته وصوره في المرآة، التي نولدها باستعمال الانعكاسات التي وصفناها في القاعدتين 3 و 4. وهذا السطح الجديد سطح أصغري أملس، ولحدوده (مثل حدود جميع الانعكاسات والصور في المرآة للوحدة الأساسية m) الخواص نفسها لحدود M، أي إن هذه الحدود مؤلفة من عدد منته من القطع التي تقع إما على خطوط مستقيمة وإما على مستويات تلاقي السطح بزاوية قائمة. لذا يمكننا مباشرة عملية التوسيع: إذ يمكن اعتبار كل انعكاس وصور في المرآة للوحدة الأساسية وحدة أساسية جديدة يمكن أن نطبق عليها قاعدتي الانعكاس.

إن عملية التوسيع ستتوقف إذا لم تتبق في مرحلة معينة حدود يمكن أن ينفذ عليها انعكاس. وعلى سبيل المثال، إذا كانت الوحدة الأساسية نصف مستوٍ، فلا يمكن أن يوجد سوى انعكاس واحد. بيد أنه يمكننا إثبات أنه في حال وحدة أساسية منتهية، فلا يمكن أن تتوقف أبدأ عملية التوسيع.

لذا يمكننا أن نتوقع بلوغ سطح أصغري "موسع عدداً غير منته من المرات". بيد أنه علينا التوقع أن هذا السطح قد يحوي في الحالة العامة تقاطعات ذاتية self-intersections. ولا يمكن إلا لسلاسل شوارزية خاصة جداً أن تحد سطوحاً أصغرية تؤدي، باعتبارها وحدات أساسية، إلى سطح أصغري موسع عدداً غير منته من المرات دون تقاطعات ذاتية. ويسمى مثل هذا السطح سطحاً أصغرياً دورياً periode minimal surface .

وقد أشار شوارز في وقت مبكر يعود إلى عام 1867 إلى أن السطح الأصغري (المعين بطريقة وحيدة) الممتد على رباعي الأضلاع في الشكل السفلي هو الوحدة الأساسية لسطح أصغري دوري. وتمثل الصورة في أعلى يسار الصفحة التالية جزءاً من هذا السطح الأصغري، وقد صنع هذا النموذج من قبل الفيزيائي الأمريكي .H.A>شوين<Schoen بين عامي 1968 و 1969.

هذا وقد وجد شوارز وباحثون آخرون سطوحاً أصغرية دورية إضافية يمثل بعضها في الصور العليا وعلى الصفحتين التاليتين.

قد تبدو السطوح الأصغرية الدورية والبنى المتصلة بها مثيرة لاهتمام علماء البيولوجيا الذين لاحظوا أن الجدران الفاصلة بين المادة العضوية وغير العضوية في الهياكل العظمية لقنفذيات الجلد echinoderms (قناديل البحر starfish وقنافذ البحر sea urchins وكائنات قريبة منها) تشبه أنماطاً معينة من السطوح الأصغرية الدورية.