الحلول الرياضية لمشكلة التدفق في آبار الضخ

1995 ري وصرف ومعالجة التملح

د.علي عبدالله حسن

KFAS

الحلول الرياضية لمشكلة التدفق في آبار الضخ النباتات والزراعة الزراعة

بالنسبة لحل مشكلة التدفق في آبار الضخ ، هنالك مراجع عديدة في هذا المجال نذكر منها على وجه التخصيص : ] MUSKAT من [88، و ] POLUBARINOVA-KOCHINA من [88 وسنحاول هنا واستناداً إلى بعض المراجع [192 , 88] أن نقدم بعض الحلول في هذا المجال .

من المنظور الأساسي لوضعية الماء في البئر يمكننا تقسيم الآبار إلى الأنواع التالية :

 

آبار غير خاضعة للتوتر :

وتكون الطبقة الناقلة للماء في هذا النوع واقعة فوق شريط كتيم ، في حين تكون سوية سطح الماء نحو الأعلى غير محصورة بأية طبقة كتيمة.

آبار خاضعة للتوتر :

تكون الطبقة الناقلة للماء في هذا النوع محصورة بين شريطين كتيمين في الأسفل والأعلى .

آبار خاضعة لتوتر شبه محدود :

تكون الطبقة الناقلة للماء واقعة فوق شريط كثيم ، ومحدودة نحو الأعلى بشريط شبه ناقل .

 

تبعاً لمعطيات منشورة ]في [88 فإن حلول مشكلة التدفق في النوعين الأول والثاني (أي الآبار غير لخاضعة لتوتر اوالآبار الخاضعة لتوتر) هي نفسها والاختلاف يكون بين حالة التدفق المستقر “Steady-State’] وحالة التدفق غير المستقر [“non steady –   state”:

استناداً إلى الشكل 45 الذي يمثل بئراً غير خاضع للتوتر في مساحة محدودة مفترضة يمكننا استعراض الحل الهيدروليكي للبئر على النحو التالي :

إذا ضخت كمية ثابتة من الماء مقدارها Q من البئر ، فسوف يحصل انخفاض في سوية ماء البئر على شكل مخروط . 

 

وإذا عددنا التدفق باتجاه البئر تدفقاً مستقراً “Steady – State” (وهذه هي الحالة العادية بعد فترة من الضخ) ، فإن الانخفاض المخروطي يبقى بدون تغيير . وتحت مثل هذه الشروط فإن الحل تبعاً لمعادلة Thiem (من 192 , 88 ) يأخذ الشكل التالي :

علماً أن :

Q =  تعني كمية الماء المتدفقة في وحدة الزمن (m³/S) .

K = الناقلية المائية للطبقة الناقلة للماء .

أما الرموز الأخرى فيوضحها الشكل : 45 ويمكن اعتماد المعادلة (103) كعلاقة بين التصريف وأعلى سوية لسطح الماء . 

 

وفي حال أن انخفاض سوية سطح الماء صغيراً بالمقارنة بسماكة الطبقة الناقلة للماء يمكننا أن نعدّ العلاقة التالية محققة [88] .

D هي السماكة الوسطية للطبقة الناقلة للماء .  وباعتماد العلاقة التالية [88] :

وبتعويض العلاقة (104) في المعادلة (103) نحصل على [88] :

علماً أن تمثل نصف قطر البئر والجداء KD يمثل الانتقال داخل الطبقة الناقلة للماء .

 

ويمكن اعتماد الحل المعطى في المعادلة (105) في إيجاد الحلول للحالة التي تكون فيها الشروط الحدية للبئر خاضعة للتوتر  [88].  وهنا يمكننا التمييز بين حالتين :

الحالة الأولى : وجود البئر قرب نهر أو قناة مائية سوية سطح الماء في المجرى المائي المجاور للبئر ثابتة .  في مثل هذه الحالة يكون الحل تبعاً لمعادلة ] MUSKAT من [88 التالية :

علماً أن تمثل الهبوط الحاصل لسوية ماء البئر . أما الهبوط في سوية ماء النهر أو سوية ماء القناة ، فيساوي هنا الصفر . 

في حين تمثل a المسافة بين النهر والبئر ، أو المسافة بين القناة والبئر .  X و y هما محوري الإحداثيات للنقطة التي حسب على أساسها الهبوط في سوية ماء البئر .

 

الحالة الثانية : يوجد البئر بين قناتين لهما سوية سطح الماء نفسها . أما الهبوط في سوية سطح ماء البئر في حالة التدفق المستقر فتعطيه المعادلة التالية  [88]:

إذا اعتبرنا في المعادلة (107) أعلاه أن الهبوط في سوية سطح ماء البئر قد عاد ثانية إلى سوية سطح الماء في القناة ، وأن هذا حصل كسوية مقترحة ، فإن تمثلان عندئذ الإحداثيات للبئر .

أما في حالة الآبار الخاضعة لتوتر شبه محدود .  أي الآبار التي تقع الطبقة الناقلة للماء فيها فوق شريط كثيم ، ويحدد هذه الطبقة من الأعلى شريط شبه ناقل . 

فإن الهبوط في سوية سطح الماء في مثل هذه الآبار ، وفي حالة التدفق غير المستقر ، يتوافق مع الحلول المقدمة من قبل THEIS و EDELMAN ]من [88 وذلك عندما يكون الماء قد ضخ من البئر بمعدل ثابت مقدارها   Q.

إضافة إلى ذلك فقد تحصل في شروط كهذه مشكلات أخرى .  مثال ذلك عندما تكون الطبقة الناقلة للماء عبارة عن رمل ارتوازي، بسماكة  D ، ناقليتها المائية تساوي  K. 

 

وفي حال أن هذه الطبقة الناقلة واقعة فوق شريط كتيم ، ولنفترض أن الطبقة الناقلة في مثالنا هذا محدودة من الأعلى لشريط شبه ناقل ذي طبيعة خاصة. 

ولنوضح الوقع أكثر ، ونقول إن الشريط شبه الناقل عبارة عن شريطين السفلي منهما عبارة عن شريط شبه ناقل ، الذي فوقه شريط رملي يمثل وضعية ناقلة للماء بصورة غير متوترة . 

والحل لمثل هذه الحالة يمكن تصوره على النحو التالي [88]: لما كانت ناقلية الرمل الارتوازي المائية أكبر بكثير من الشريط شبه الناقل ، فإن التدفق الأفقي في الشريط يمكن التغاضي عنه . 

 

وفي حال ان الماء قد ضخ من البئر يكون التدفق في الرمل الارتوازي عبارة عن تدفق أفقي محوري ومتناظر محدثاً انخفاضاً مخروطياً في سية الماء، ومركز هذا المخروط في البئر .

ويتناسب هذا الانخفاض طرداً مع فرق السوية فوق وتحت الشريط شبه الناقل .  أما الحل لهذا الانخفاض في حالة التدفق المستقر، فهو تبعاً لمعادلة De GLEE ]من [88 على النحو التالي :

علماً أن K0 هي تابع بيزيل (BESSEL من 88) المعدل بالنسبة للصفر و r هي المسافة إلى البئر ، حيث إن  

مع الأخذ بعين الاعتبار أن D' هي سماكة الشريط شبه الناقل ، و K' هي ناقلية الشريط شبه الناقل .

أما C فغالباً ما تسمى المقاومة الشاقولية ، أو عامل الانخفاض لهذا الشريط .  أما قيم  فيمكن أخذها من جداول خاصة [88].

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]