الطرق الرياضية المتبعة لـ”حساب المثلثات”

1997 موسوعة الكويت العلمية للأطفال الجزء الثامن

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

طرق حساب المثلثات الرياضيات والهندسة الهندسة

كيف تستطيع قياس ارتفاع جبل إذا كنت لا تستطيع تسلُّقَه؟ وكيف تستطيع قِياسَ عرض نهرٍ إذا كنت لا تستطيع عبوره؟

حسابُ المثلثات هو فرعٌ من الرياضيات، يمكن أن يُزودنا بإجابات عن هذين السؤالين، وعن العديد من الأسئلة الممثالة لهما؛ فعلى سبيل المثال تستطيع أن تعتبر أن الارتفاع المجهول هو ضلع في مثلث، وحساب المثلثات يستطيع أن يساعِدَك في إيجاد طول ذلك الضلع المجهول بالمثلث، والذي يمثل ارتفاع الجبل.     

ويُعدّ حساب المثلثاتِ فرعَ الرياضيات الذي يستخدمُهُ بكثرةٍ الفلكيون والملاحونَ (ربابنةُ السُفُنِ)، والمساحون (رافعو الخرائط المساحية للأراضي)، وكثير غيرُ هؤلاء يستخدمون حساب المثلثاتِ.

 

وفي الواقع، إن التعبير ب «حساب المثلثاتِ» يعني أصلا (قياسَ المُثلث)؛ والفكرةُ الأساسية في حساب المُثلثاتِ هي حسابُ العلاقاتِ بين أضلاع المثلث القائِمِ الزاوية، فهذِهِ العلاقاتُ تُسمى بالنَّسَب المثلثَيةِ.

لكن حساب المثلثات أصبح اليوم يعني أكثر من مجرد قياساتِ المثلث؛ فأيّ مثلث له ثلاثة أضلاع، وقد درس علماءُ الرياضيات العلاقاتِ بين هذه الأضلاع، واستطاعوا كتابَتها في صورة نِسَبٍ بين هذه الأضلاع.

فالعلاقةُ بين أحد أضلاع المثلث القائم وضِلعٍ آخر يمكنُ كتابتَها في صورة عدد أو بصورة كمية مقسومة على كميةٍ أخرى.

 

وهم يسمون هذا النوع من العلاقة «نسبةً مثلثيةً» أو «دالةً مُثَلثيةً». وحسابُ المثلثات اليوم هو فرع الرياضياتِ الذي يتعاملُ مع الخَصائصِ والتطبيقاتِ المتعلقةِ بالنسبِ المثلية.

فإذا تصورنا المثلث ( ب د و ) القائمَ الزاويةِ في (د)، وأردنا إيجاد النسبِ المثلثيةِ في هذا المثلثِ والخاصةِ بالزاوية (د و ب)، أي الزاوية (ه،) فإن هذه النسب الستّ تكون كالتالي:

1- جيب الزاوية (ه) = أي أن جا ه =

 

2- جيب تمام الزاوية (ه) = أي أن جتا ه = 

 

3- ظل الزاوية (ه) =  أي أن ظا ه = 

 

4- ظل تمام الزاوية (ه) = أي أن ظتا ه =

 

5- قاطع الزاوية (ه) = أي أن قا ه 

 

6- قاطع تمام الزاوية (ه) = أي أن قتا ه =

 

وحِسابُ المُثلثاتِ في صورتِه البسيطة، يتعامل مع المثلثاتِ التي تقعُ على سطحٍ مُستو، أو على سطحِ كُرةٍ، وبذلك فنحنُ نستطيعُ أن نتحدث عن «حساب المثلثات المستوية» وكذلك عن «حساب المثلثاتِ الكُرَوية».

ولقد وجَدَ عُلماء الرياضياتِ أن قيمَ النسِب المثلثيةِ لها دوراتٌ، أي أنَها تتكررُ مراتٍ ومرات. وعلى ذلك فإن حساب المثلثاتِ في صورتِه المتقدمةِ الأعمق، يحتوي على التطبيقات المتعلقةِ بهذه الدورات، لوصف العديدِ من الظواهر والخصائصِ، مثل اهتزاز وتر آلة الكمان الموسيقية، أو حركةِ بندول الساعة، أو غيرِ ذلك من الظواهر ذات التغيرات الدورية.

وحسابُ المثلثات له أصولُهُ القديمةُ التاريخية، فقد نما من خلال محاولاتِ دراسةِ ووصفِ المسارات الكروية، التي يُفتَرضُ أن يتحركَ فيها كُلٌّ من الشمس والقمر والكواكبِ والنجوم.

 

وقد كان للعماء العرب القدامى إسهاماتُهم العديدةُ في مجال حسابِ المُلثاتِ، وكانتْ مُعظَمُ هذه الإسهامات مرتبطة بالفلك؛ فقد استخدموا النِّسَب المثلثية الستَّ السابقَ الحديثُ عنها، واكتشفوا عِلاقاتِ المثلثِ الكسري.

ومن أمثلة ذلك اكتشافُ العالِم العربي أبي عبدالله البتاني (877-929م) العديد من العلاقاتِ المثلثيةِ المُستوى والكرويةِ، ومنها قانونُ إيجاِد ارتفاعِ الشمس.

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]