المعادلات الرياضية للتنبؤ بحركة الرمال

2004 الإنسياق الرملي

د.جاسم محمد العوضي

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

المعادلات الرياضية للتنبؤ بحركة الرمال حركة الرمال علوم الأرض والجيولوجيا

إن النمذجة الرياضية ما هي إلا أسلوب لاستخدام المعادلات الرياضية من أجل التعبير عن ظاهر معينة.

ففي ظاهرة زحف الرمال مثلا تستخدم النمذجة الرياضية لترجمة الحالة الديناميكية للظاهرة إلى مجموعة معادلات رياضية يمكن عن طريقها حساب كمية الرمال الزاحفة. وهناك العديد من النماذج الرياضية لحساب كمية زحف الرمال.

وهذه النماذج مبينة على السرعة القاصة والتي يمكن الحصول عليها من المقطع الجانبي لسرعة الرياح فوق الطبقة الرملية المتحركة كما تم شرحها سلفا.

 

وأن معظم هذه النماذج المتوفرة يتضمن حجم الحبيبة الرملية كعنصر مؤثر، وبداية السرعة القاصة للرياح (السرعة الحدية، u_*t)، ومثال على ذلك معادلات باجنولد (Bagnold,1654 & 1941) وليتو وليتو (Lettau & Lettua, 1978).

كما إن العديد من النماذج يتضمن تأثير تواثب الحبيبات الرملية على معدلات التغير في كمية حركة الرمال مثل نموذج كوامورا ( Kawamura,1951) ووايت (white,1979). وجميع النماذج قابلة للتطبيق فقط في حالة تدفق الرياح فوق سطح رملي جاف (سطح مكون من حبيبات رملية متفككة يمكن حملها بالرياح القوية).

وأكثر النماذج استخدما من قبل المهتمين بدراسة ظاهرة زحف الرمال هي المعادلات الخاصة بباجنولد، وكوامورا وليتو وليتو.

 

وسنلقي فيما يلي نظرة على أسس هذه النماذج.حصل باجنولد (Bagnold, 1941 ) على نموذجه من خلال إيجاد علاقة بين إجهاد القص للسطح (Surface shear stress) بسبب هبوب الرياح ونسبة انحسار كمية حركة الحبيبات المتواثبة (Rate of loss of momentum) وذلك على النحو التالي:

حيثq  تمثل حركة حبيبات الرمال للمتر العرضي. وأمكن لباجنولد حساب كمية الرمال المتحركة بإدخال الجذر التربيعي للنسبة ما بين قطر الحبيبة المنقولة وقطر الحبيبة القياسي (d_s) والذي يأخد الرقم 0.25 ملميتر، في العلاقة أدناه.

 

وتعتبر معادلة باجنولد من الأسس التي يستند عليها الكثير عند تطوير النماذج الرياضية والمعادلة هي على النحو التالي:

حيث C_B هو ثابت المعادلة والذي يتغير حسب حجم الحبيبات، تكون قيمته 1.5 عندما تكون أحجام الحبيبات متماثلة تقريبا، و 1.8 عندما تكون الأحجام تدريجية و 2.8 عندما تكون الأحجام غير متماثلة وتحتوي على حبيبات خشنة.

 

بينما توصل كاوامورا (Kawamura,1951) إلى معادلة مختلفة نوعا ما عن معادلة باجنولد حيث أنه أضاف عنصراً آخر للمعادلة هو السرعة الحدية. (u_*t) فقد عرف كاوامورا أولا مفهوم إجهاد القص (Shear sress) وفقا لتأثير الحبة الرملية حسب المعادلة التالية:

حيث أن Ʈ يمثل إجهاد القص الإجمالي و _fƮ يمثل إجهاد القص بفعل الرياح و _gƮ يمثل إجهاد القص بفعل تواثب الحبيبات الرملية.

 

وافترض كاوامورا أنه في حالة اتزان نظام حركة الرمال فإن قيمة _fƮ تساوي قيمة إجهاد القص الحدي (_thƮ Threshold shear stress,) وعليه فإن إجهاد القص بفعل تواثب الحبيبات يمكن حسابها كآلاتي:

وأمكن لكاوامورا تطوير نموذجه بالافتراض بأن إجهاد القص بفعل التواثب (_gƮ( يساوي كمية الخسارة في حركة الرمال بسبب تواثب الحبيبات الرملية وعلى هذا الأساس ادخل عنصر (u_*t) في معادلته والتي هي على النحو التالي:

حيث أن C_K هو ثابت المعادلة ويعتمد على خصائص تركيبة الحبيبات الرملية، وحدد كاوامورا من خلال تجاربه المختبرية على الحيببات الرملية ذات معدل قطر 0.025 مليمتر قيمة C_K لتكون 2.78. ولكن هوريكاوا وآخرون (Horkiawa, et al., 1983) استنتجو من نتائجهم المختبرية بأن الثابت C_K يأخذ قيمة 2.3.

 

أما بالنسبة لنموذج ليتو وليتو (Lettua&Lettua,1978) فقد أخذا في الاعتبار العنصر (u_*t) وحجم الحبيبة (d) في تطوير معادلتهما لتكون على النحو التالي:

حيث إن معاملC_L معامل تحدد قيمته مختبرياً والأس n ثابت وقيمته تتراوح ما بين 0.5 إلى 0.75.

 

وقد استخدم وبيرمان وكروس (Wippermann & Gross1986) هذه المعادلة لقياس نسبة حركة الرمال في بامبا بيرو وأثبتت فعاليتها عند معادلة C_L بقيمة 5.5. وهذه المعادلة استخدمت بشكل واسع وبنجاح من قبل العديد من الباحثين في مجال زحف الرمال.

وفي دراسة للعوضي والسيدراوي (ِAl- Awadhi & Al-Sudariawi,2001) في صحراء الكويت تم معايرة النماذج السالفة الذكر للاستخدام تحت الظروف الطبيعية للبيئة الصحراوية الكويتية، حيث حدد قيمة ثوابت معادلات باجنولد، كاوامورا، وليتووليتو لقياس نسبة حركة الرمال في دولة الكويت على النحو التالي وعلى التوالي: 

وشكل رقم (2.4) يوضح المقارنة بتنبؤات النماذج الثلاثة.

 

وبشكل عام لم يتأكد إلى أي حد تتناسب كمية حركة الرمال (q) مع السرعة القاصة للرياح (u_*) إلى أن معظم المعادلات تتفق بأن العلاقة هي كما حددها باجنولد (Bagnold,1941) في المعادلة رقم (2.11).

وقد أوضح سار (Sarre,1988) بأن جميع معادلات حساب كمية حركة الرمال والتي تعتمد على تكعيب u_*   تتنبأ بنسبة كبيرة بكمية حركة الرمال عند سرعة الرياح العالية.

 

واستنتج سار من تجاربه في قياس كمية حركة الرمال عند خمس سرعات ريحية 14 متر لكل ثانية وما فوق، أن هناك ميكانيكية محددة (ٍSelf-limiting mechanism) والتي عندها تكون الزيادة في نسبة حركة الرمال بفعل زيادة سرعة الرياح قليلة وبشكل سريع.

ويعزى سبب هذا التغيير إلى التفاعل ما بين طبقة الحبيبات الواثبة والرياح القريبة للسطح أو نمط التصادمات ما بين الحبيبات الواثبة على سطح الطبقة الرملية.

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]